Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=a，且an+1+2an=2n+1
（1）若a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，則{a_n}是否成等差數(shù)列？并說(shuō)明理由；
（2）若a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，則{a_n}是否成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出數(shù)列前3項(xiàng)，利用a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，求出a，再求出第4項(xiàng)，即可得出結(jié)論；
（2）由a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列得a的值，利用數(shù)列遞推式，令bn=

an

2n

，可得bn+1-

1

2

=-(bn-

1

2

)，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得a₂=4-2a，a₃=4a                            （1分）
由a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列得a=

8

9

                                （4分）
此時(shí)，a1=

8

9

，a2=

20

9

，a3=

32

9

，但a4=

80

9

≠

44

9

，
所以{a_n}是不成等差數(shù)列；                                      （7分）
（2）由a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列得a=1                          （8分）
由an+1+2an=2n+1得

an+1

2n+1

+

an

2n

=1                          （10分）
令bn=

an

2n

，
所以bn+1-

1

2

=-(bn-

1

2

)，當(dāng)a=1時(shí)，b1-

1

2

=0，
因此，bn-

1

2

=0                                          （12分）
所以an=2n-1，即有

an+1

an

=2，
因此a=1時(shí)，{a_n}成等比數(shù)列    （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定，考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．