精英家教網(wǎng)已知△OFQ的面積為2
6
,且
OF
FQ
=m

(1)當
6
<m<4
6
時,求向量
OF
FQ
的夾角θ的取值范圍;
(2)設|
OF
|=c,m=(
6
4
-1)c2
,若以中心O為坐標原點,焦點F在x非負半軸上的雙曲線經(jīng)過點Q,當|
OQ
|
取得最小值時,求此雙曲線的方程.
分析:(1)利用兩個向量的數(shù)量積的定義和三角形面積公式,推出tanθ的解析式,再根據(jù)m的范圍,求得tanθ
的范圍,進而求得θ的取值范圍.
(2)設出雙曲線的標準方程和點Q的坐標,有三角形的面積公式求出點Q的橫坐標和縱坐標(用半焦距表示),用基本不等式求出|
OQ
|最小時點Q的坐標,從而得到雙曲線方程中的待定系數(shù).
解答:解:(1)由已知得
1
2
OF
• 
FQ
sin(π-θ)=2
6
OF
 • 
FQ
cosθ =m
,∴tanθ=
4
6
m
,
6
<m<4
6
,∴1<tanθ<4,∴
π
4
<θ<arctan4.
(2)設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1,(a>0,b>0),不妨設點Q的坐標為(m,n),
n>0,則
FQ
=(m-c,n),∵△OFQ的面積為
1
2
|
OF
|•n=2
6
,∴n=
4
6
c

又由
OF
FQ
=(c,0)•(m-c,n)=c(m-c)=(
6
-1)c2,∴m=
6
c
4
,
|
OQ
|=
m2+n2
=
3c2
8
+
96
c2
12
,當且僅當c=4時,|
OQ
|有最小值,
此時,點Q的坐標為(
6
,
6
),由此可得
6
a2
-
6
b2
=1
a2+b2=16
,解得
a2=4
b2=12
,
故所求的方程為:
x2
4
-
y2
12
=1.
點評:本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義,三角形的面積公式以及基本不等式的應用,用待定系數(shù)法求雙曲線的方程.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知△OFQ的面積為S,且
OF
FQ
=1

(Ⅰ)若
1
2
<S<
3
2
,求
OF
FQ
的范圍;
(Ⅱ)設|
OF
|=c(c≥2),S=
3
4
c.
若以O為中心,F(xiàn)為一個焦點的橢圓經(jīng)過點Q,以c為變量,當|
OQ
|
取最小值時,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△OFQ的面積為2
6
,且
OF
FQ
=m,?
(1)設
6
<m<4
6
,求向量
OF
FQ
的夾角θ的取值范圍;?
(2)設以O為中心,F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q(如圖),|
OF
|=c,m=(
6
4
-1)c2,當|
OQ
|取最小值時,求此雙曲線的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知△OFQ的面積為2
6
,且
OF
FQ
=m

(1)設
6
<m<4
6
,求向量
OF
FQ
的夾角θ
正切值的取值范圍;
(2)設以O為中心,F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q(如圖),|
OF
|=c,m=(
6
4
-1)c2
,當|
OQ
|
取得最小值時,求此雙曲線的方程.
(3)設F1為(2)中所求雙曲線的左焦點,若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點,且2|AB|=5|F1F|,求線段AB的中點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•天津一模)已知△OFQ的面積為2
6
,且
OF
FQ
=m.
(1)設4
2
<m<4
6
,求向量
OF
FQ
夾角θ的取值范圍;
(2)設以O為中心,F(xiàn)為焦點的雙曲線經(jīng)過點Q(如圖),若|
OF
|=c,m=(
6
4
-1)c2
,當|
OQ
|取最小值時,求此雙曲線的方程.

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