設(shè)A＋B＋C＝π，且x，y，z∈R，求證：

x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC．

答案：
解析：

　　證明：設(shè)f(x)＝x2＋y2＋z2－2yzcosA－2xzcosB－2xycosC

　�。絰2－2x(zcosB＋ycosC)＋y2＋z2－2yzcosA．

　　由A＋B＋C＝π知cosA＝－cos(B＋C)

　�。剑璫osBcosC＋sinBsinC．

　　又Δ＝4(zcosB＋ycosC)2－4(y2＋z2－2yzcosA)

　　＝4(z2cos2B＋y2cos2C＋2yzcosBcosC－y2－z2＋2yzcosA)

　�。�4[－z2sin2B－y2sin2C＋2yzcosBcosC－2yzcos(B＋C)]

　�。�4(－z2sin2B－y2sin2C＋2yzsinBsinC)

　　＝－4(zsinB－ysinC)2≤0．

　　又二次項(xiàng)系數(shù)為1，∴f(x)對(duì)任意x恒有f(x)≥0．

　　也就是x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC．

　　當(dāng)且僅當(dāng)zsinB－ysinC＝0時(shí)，Δ＝0；

　　x＝zcosB＋ycosC時(shí)，f(x)＝0．

　　∴x2＋y2＋z2≥2yzcosA＋2xzcosB＋2xycosC，

　　當(dāng)且僅當(dāng)zsinB－ysinC＝0，zsinA－xsinC＝0，ysinA－xsinB＝0時(shí)，等號(hào)成立．

　　分析：我們可把待證不等式轉(zhuǎn)化為某一字母的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，作出簡(jiǎn)捷證明，只要函數(shù)構(gòu)造得當(dāng)，證明過程會(huì)特別簡(jiǎn)捷明快．


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設(shè)向量a、b、c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|2＝(　　)．

[　　]

A．1

B．2

C．4

D．5

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設(shè)向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，則|c|2的值為

[　　]
A．

1

B．

2

C．

4

D．

5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：遼寧省錦州中學(xué)2012屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

給出下列四個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的命題有(　　)個(gè)．

(1)函數(shù)f(x)＝ex－2的零點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)；

(2)函數(shù)y＝sin2x＋cos2x在x∈[0，]上的單調(diào)遞增區(qū)間是；

(3)設(shè)A、B、C∈(0，)，且sinA－sinC＝sinB，cosA＋cosC＝cosB，則B－A等于－；

(4)方程sin2x＋2sinx＋a＝0有解，則a的取值范圍是[－3，1]．

[　　]
A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：四川省成都石室中學(xué)2012屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知函數(shù)g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)＞0，設(shè)x1，x2是方程f(x)＝0的兩個(gè)根，則|x1－x2|的取值范圍為

[　　]
A．

[，)

B．

[，)

C．

[，)

D．

[，)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北省華中師大一附中2012屆高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)理科試題 題型：047

(Ⅰ)設(shè)a、b、c為正數(shù)，且a＋b＋c＝6，求證：；

(Ⅱ)設(shè)a、b為正數(shù)，n∈N，求證：．

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