Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R）在x=2處的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣4，2ln2）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性
（2）若不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=2lnx+ax﹣ （a∈R），求導(dǎo)f′（x）= +a+ ，

當(dāng)x=2時(shí)，f′（2）=1+a+f′（2），

∴a=﹣1，

設(shè)切點(diǎn)為（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），則切線(xiàn)方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），

將（﹣4，2ln2）代入切線(xiàn)方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），則f′（2）=﹣ ，

∴f′（x）= ﹣1﹣ = ≤0，

∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減

（2）解：由不等式 恒成立，則 （2lnx+ ）＞m，

令φ（x）=2lnx+ ，（x＞0）求導(dǎo)φ′（x）= ﹣ ﹣1=﹣（ ﹣1）2≤0，

∴φ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

由φ（1）=0，

則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，φ（x）＞0，

當(dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＜0，

∴ （2lnx+ ）在（0，+∞）恒大于0，

∴m≤0，

實(shí)數(shù)m的取值范圍（﹣∞，0]

【解析】（1）求導(dǎo)，當(dāng)x=2時(shí)，代入f′（x），即可求得a=﹣1，求得點(diǎn)斜式方程，將（﹣4，2ln2）代入點(diǎn)斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可知 （2lnx+ ）＞m，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)性質(zhì)，求得 （2lnx+ ）最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．