Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．已知AB=2，AD=2

2

，PA=2．求：
（1）△PCD的面積；
（2）異面直線BC與AE所成的角的大小；
（3）求三棱錐P-ABE的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的面積公式求面積．
（2）根據(jù)異面直線所成角的定義，求異面直線BC與AE所成的角．
（3）利用三棱錐的體積公式進(jìn)行求解．

解答：解：（1）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD．
再由CD⊥AD，可得 CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，△PCD為直角三角形．
根據(jù)已知AB=2，AD=2

2

，可得PD=2

3

，CD=2，
故△PCD的面積為 S=

1

2

•CD•PD=

1

2

•2•2

3

=2

3

．
（2）取PB的中點為F，根據(jù)E是PC的中點，可得EF平行且等于

1

2

BC，
∴∠AEF（或其補角為所求）．
利用直角三角形的性質(zhì)可得 AE=

1

2

PC=2，AF=

1

2

PB=

2

，EF=

1

2

BC=

2

，
故△AEF為等腰直角三角形，故∠AEF=45°，
即異面直線BC與AE所成的角的大小為45°．
（3）由（1）知AD⊥平面PAB，EF⊥平面PAB，EF=

2

．
V_P-ABE=V_E-PAB=

1

3

×

1

2

×2×2×

2

=

2

3

2

．

點評：本題主要考查空間異面直線所成的角的求法，空間三棱錐的體積公式，比較綜合．