Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）在區(qū)間[-，]的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)對數(shù)定義求出函數(shù)的定義域，然后令f′（x）=0求出函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的增區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）知f（x）在區(qū)間[-，]的最小值為f（-）求出得到函數(shù)的最小值，又因?yàn)閒（-）-f（）＜0，得到
f（x）在區(qū)間[-，]的最大值為f（）求出得到函數(shù)的最大值．
解答：解：f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
（1）f′（x）=+2x=
當(dāng)-＜x＜-1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜-時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞-時(shí)，f′（x）＞0
從而，f（x）在區(qū)間（-，-1），（-，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，-）上單調(diào)遞減
（2）由（1）知f（x）在區(qū)間[-，]的最小值為f（-）=ln2+
又f（-）-f（）=ln+-ln-
=ln+=（1-ln）＜0
所以f（x）在區(qū)間[-，]的最大值為f（）=+ln．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上極值的能力．