Question

4．將函數(shù)$y=\sqrt{3}cosx+sinx，（x∈R）$的圖象向右平移θ（θ＞0）個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則θ的最小值是（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 y=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2cos（x-$\frac{π}{6}$），故將函數(shù)平移后得到y(tǒng)=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），由于平移后的新函數(shù)是偶函數(shù)，得cos（-x-$\frac{π}{6}$-θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），即cos（x+$\frac{π}{6}$+θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）恒成立，于是x+$\frac{π}{6}$+θ=x-$\frac{π}{6}$-θ+2kπ，解出θ=kπ-$\frac{π}{6}$．

解答 解：∵y=$\sqrt{3}$cosx+sinx=2cos（x-$\frac{π}{6}$），
∴將函數(shù)平移后得到的函數(shù)為y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），
∵y=2cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）的圖象關于y軸對稱，
∴cos（-x-$\frac{π}{6}$-θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ），即cos（x+$\frac{π}{6}$+θ）=cos（x-$\frac{π}{6}$-θ）恒成立．
∴x+$\frac{π}{6}$+θ=x-$\frac{π}{6}$-θ+2kπ，解得θ=kπ-$\frac{π}{6}$．
∵θ＞0，
∴當k=1時，θ取最小值$\frac{5π}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及函數(shù)圖象變換，利用圖象變換規(guī)律找到平移后的函數(shù)是關鍵．