如圖，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE是邊長為a的等邊三角形，ABCD是矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，并且EC與平面ABCD所成的角為．

(1)求證EA⊥CD；(2)求二面角E－FC－D的大��；(3)求D點(diǎn)到平面EFC的距離．

答案：
解析：

證明：(1)∵ABCD是矩形，

∴CD⊥AD．

又平面ADE⊥平面ABCD，交線為AD，

∴CD⊥平面ADE

而EA平面ADE，于是EA⊥CD．

(2)在平面ADE內(nèi)作EG⊥AD于G．由于平面ADE⊥平面ABCD，且AD為交線，故EG⊥平面ABCD．連結(jié)GF，GC．因此∠ECG為EC和平面ABCD所成的角，故∠ECG=．由已知可求得EG＝a，GC=a，GD=a，CD=a，F(xiàn)G=a，EF=FC=a，EC=a．于是有，即△EFC為等腰直角三角形．故GF⊥FC，故GF⊥FC．所以∠EFG為二面角E－FC－D的平面角，且∠EFG＝，即二面角E－FC－D為．

(3)由(2)連結(jié)DF，D點(diǎn)到平面EFC的距離即三棱錐D－EFC的高h(yuǎn)．因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A0/0059/0417/af10e45c15c97a18fe29a7b96c1a11c6/C/Image49149.gif">，故·GE=h．由此可求得h＝a，即點(diǎn)D到平面EFC的距離a．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．
（1）求證：AB∥平面CDE；
（2）求證：平面ABCD⊥平面ADE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年北京市高三起點(diǎn)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

   如右圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點(diǎn)，AE=3，圓O的直徑為9。

   （1）求證：平面ABCD平在ADE；

   （2）求二面角D—BC—E的平面角的正切值；

                                

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省南通市海門中學(xué)高三（上）開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．
（1）求證：AB∥平面CDE；
（2）求證：平面ABCD⊥平面ADE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年江蘇省南通市海門中學(xué)高三（上）開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．
（1）求證：AB∥平面CDE；
（2）求證：平面ABCD⊥平面ADE．

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