Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)， 對(duì)于符合題意的任意，當(dāng) 時(shí)均有?

若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）先分離得 ，再利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性：先減再增，結(jié)合圖像以及值域可得的取值范圍；（2）先根據(jù)，得，再根據(jù)零點(diǎn)解得，轉(zhuǎn)化不等式得，令，化簡(jiǎn)得，因此 ， ，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，確定對(duì)應(yīng)函數(shù)最值，即得取值集合

試題解析：(1) ，

當(dāng)時(shí)， 對(duì)恒成立，與題意不符，

當(dāng)， ，

∴時(shí)，

即函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

∵和時(shí)均有，

∴，解得： ，

綜上可知： 的取值范圍；

(2)由(1)可知，

由的任意性及知， ，且，

∴，

故，

又∵，令，則，且恒成立，

令，而，

∴時(shí)， 時(shí)，

∴，令，

若，則時(shí)， ，即函數(shù)在單調(diào)遞減，

∴，與不符；

若，則時(shí)， ，即函數(shù)在單調(diào)遞減，

∴，與式不符；

若，解得，此時(shí)恒成立， ，

即函數(shù)在單調(diào)遞增，又，

∴時(shí)， ； 時(shí)， 符合式，

綜上，存在唯一實(shí)數(shù)符合題意.