已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結論中正確的是( 。
分析:利用三角函數(shù)的恒等變換,把函數(shù)化為f(x)=
3
cos(2x-
π
6
),可得它的最大值為
3
,故排除A.再根據(jù)函數(shù)的最小正周期為π,且是非奇非偶函數(shù),故排除B.將函數(shù)y=
3
sin2x的圖象向左平移
π
6
得到函數(shù)y=
3
sin2(x-
π
6
),利用誘導公式可得得到函數(shù)函數(shù)f(x)=
3
cos(2x-
π
6
) 的圖象,故C正確.令2x-
π
6
=kπ,k∈z,可得對稱軸方程為 x=
2
+
π
12
,k∈z,故D不正確.
解答:解:∵函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
)═1+cos2x-2×
1-cos(2x-
π
3
)
2
=cos2x+cos(2x-
π
3
)=2cos(2x-
π
6
)cos
π
6
=
3
cos(2x-
π
6
),
即 f(x)=
3
cos(2x-
π
6
).
故函數(shù)的最大值為
3
,故排除A.
故函數(shù)的最小正周期為π,且是非奇非偶函數(shù),故排除B.
將函數(shù)y=
3
sin2x的圖象向左平移
π
6
得到函數(shù)y=
3
sin2(x-
π
6
)=
3
sin(2x-
π
3
)=cos[
π
2
-(2x-
π
3
)]=
3
cos(-2x+
π
6
)=
3
cos(2x-
π
6
)=f(x)的圖象,故C正確.
令2x-
π
6
=kπ,k∈z,可得對稱軸方程為 x=
2
+
π
12
,k∈z,故D不正確.
故選C.
點評:此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法,二倍角的余弦函數(shù)公式,積化和差公式,余弦函數(shù)的對稱性及奇偶性,以及三角函數(shù)圖象的平移規(guī)律,其中靈活運用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是解本題的關鍵,屬于中檔題.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實數(shù)x的取值范圍是( 。
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當a=1時,求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當a=1時,求證對任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( 。

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