Question

（08年安徽信息交流） （本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB⊥底面，CD⊥PD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，點E在棱PA上，且PE=2EA。

（1）求異面直線PA與CD所成的角；

（2）求證：PC∥平面EBD；

（3）求二面角A－BE－D的大小。

Answer 1

解析:解法一：                             

（1）由PB⊥面ABCD，CD⊥PD知CD⊥BD

在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB=AD=3,

∴BD=，BC=6

取BC的中點F，連結(jié)AF，則AF∥CD，

∴PA與CD所成的角就是∠PAF   

連PF由題設(shè)易知AF=PF=PA=,

∴∠PAF=60°即為所求     

（2）連AC交BD于G，連EG，易知,

又∴，∴PC∥EG,又EG面EBD，∴PC∥面EBD  

（3）∵PB⊥面ABCD，∴AD⊥PB，

又AD⊥AB，∴AD⊥面EAB

作AH⊥BE于H，連DH，則DH⊥BE,   

在△AEB中，易求得BE=，

在△DAH中，∠

即所求二面角的大小為  

解法二：（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

則A（0,3,0）,P（0,0,3）D（3,3,0）,C（，0，0），=

∵，∴，

即：3（3-）+9=0         

∴

∴

∴，即異面直線PA與CD所成的交為60°            

（2）設(shè)平面BED的法向量為  ∵

由得，∴       

又由（1）知，∴，∴PC∥面EBD  

（3）由（2）知

又平面ABE的法向量，

            故所求二面角的大小為