Question

設(shè)z是虛數(shù)，滿足ω=z+

1

z

是實數(shù)，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的實部的取值范圍；
（2）設(shè)u=

1-z

1+z

．求證：u是純虛數(shù)；
（3）求ω-u²的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，寫出ω的表示式，進行復(fù)數(shù)的運算，把ω整理成最簡形式，根據(jù)所給的ω的范圍，得到ω的虛部為0，實部屬于這個范圍，得到z的實部的范圍．
（2）根據(jù)設(shè)出的z，整理u的代數(shù)形式，進行復(fù)數(shù)的除法的運算，整理成最簡形式，根據(jù)上一問做出的復(fù)數(shù)的模長是1，得到u是一個純虛數(shù)．
（3）ω-u2=2a+

b2

(1+a)2

=2a+

1-a2

(1+a)2

=2a+

1-a

1+a

=2[(a+1)+

1

a+1

]-3，再利用基本不等式即可求ω-u²的最小值．

解答：解：（1）由z是虛數(shù)，設(shè)z=a+bi（a，b∈R，b≠0）則ω=z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+(b-

b

a2+b2

)i
∵ω∈R∴b-

b

a2+b2

=0且b≠0得a²+b²=1即|z|=1
此時，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴-

1

2

＜a＜1即z的實部的取值范圍為(-

1

2

，1)．…（4分）
（2）u=

1-z

1+z

=

1-(a+bi)

1+(a+bi)

=

[(1-a)-bi][(1+a)-bi]

(1+a)2+b2

．
∵a²+b²=1
∴u=-

b

1+a

i又b≠0，-

1

2

＜a＜1故u是純虛數(shù)．…（8分）
（3）ω-u2=2a+

b2

(1+a)2

=2a+

1-a2

(1+a)2

=2a+

1-a

1+a

=2[(a+1)+

1

a+1

]-3
由a∈(-

1

2

，1)知(a+1)+

1

a+1

≥2，
故當且僅當a+1=

1

a+1

，a=0時ω-u²的最小值為1．…（14分）．

點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算，本題是一個運算量比較大的問題，題目的運算比較麻煩，解題時注意數(shù)字不要出錯．