Question

若動圓P恒過定點B(2，0)，且和定圓C:(x+2)²+y²=4外切.

(1)求動圓圓心P的軌跡E的方程；

(2)若過點B的直線l與曲線E交于M、N兩點，試判斷以MN為直徑的圓與直線m：x=是否相交，若相交，求出所截得劣弧的弧度數(shù)，若不相交，請說明理由.

Answer 1

解:(1)由于圓P與圓C相外切

∴|PC|=|PB|+2,即|PC|-|PB|=2

∴動圓P的圓心的軌跡是以B、C為焦點，實軸長為2的雙軸曲線的右支  a=1,c=2,  ∴b²=3

∴動點P的軌跡方程為x²-=1(x≥0) 

(2)由(1)知：B(2,0)與直線x=分別為雙曲線x²-=1的右焦點及右準(zhǔn)線.

∴MN為雙曲線的焦點弦.

取MN的中點A，則A為以MN為直徑的圓的圓心.過M、N、A分別向直線m：x=作垂線.垂足分別為E、F、G，則|AG|== 

∵e＞1   ∴|AG|＜

∴以MN為直徑的圓與直線m:x=相交 

設(shè)以MN為直徑的圓與直線m:x=的交點分別為K、H.則所截得劣弧的弧度數(shù)等于圓心角∠KAH的弧度數(shù)

且cos∠HAG= 

又e=2  ∴cos∠HAG=∴∠HAG=.

∴劣弧弧度數(shù)為 

(2)另解:由(1)知B(2，0)，直線m:x=為雙曲線x²-=1的右焦點及右準(zhǔn)線，則MN為焦點弦.

當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l:y=k(x-2)代入x²-=1中得：(3-k²)x²+4k²x-4k²-3=0

            ∴k²＞3

∴|MN|=e(x₁+x₂)-2a=2×-2×1=

又MN的中點A到直線m:x=的距離

d=

∴d-

∴以MN為直徑的圓與直線m:x=相交 

截得劣弧弧度數(shù)等于所對圓心角θ的弧度數(shù)

又cos

∴        ∴

當(dāng)直線l斜率不存在時，則直線m:x=2,經(jīng)驗證上述結(jié)論成立.