Question

18．已知拋物線的頂點為原點，焦點為F（1，0），過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，過AB的中點M作準線的垂線與拋物線交于點P，若|AB|=6，則點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)出過焦點的直線方程，利用直線與拋物線聯(lián)立，求出M的坐標，然后求解P的坐標．

解答 解：拋物線的頂點為原點，焦點為F（1，0），可得拋物線為：y²=4x，p=2，
過焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，過AB的中點M作準線的垂線與拋物線交于點P，|AB|=6，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），|AB|=6=x₁+x₂+p
可得x₁+x₂=4．
過焦點的直線設(shè)為y=k（x-1），則：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，
可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=4，解得k=$±\sqrt{2}$，
y₁+y₂=$±\sqrt{2}$（x₁+x₂-2）=$±2\sqrt{2}$，
中點的縱坐標為：$±\sqrt{2}$，
代入拋物線方程可得：x=$\frac{1}{2}$．
則點P的坐標為：（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{2}$）．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力．