Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，把函數(shù)g（x）=f（x）﹣x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A.
B.an=n﹣1
C.an=n（n﹣1）
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x=x+1．令y=2x ， y=x+1．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（﹣∞，0]上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（0，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=0．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，x﹣1∈（﹣1，0]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣1 ， 由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣1﹣x=0，得2x﹣1=x．令y=2x﹣1 ， y=x．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（0，1]上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（1，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=1．
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，x﹣1∈（0，1]，f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1﹣1+1=2x﹣2+1，由g（x）=f（x）﹣x=2x﹣2+1﹣x=0，得2x﹣2=x﹣1．令y=2x﹣2 ， y=x﹣1．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（1，2]上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（2，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=2．
依此類(lèi)推，當(dāng)x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時(shí)，構(gòu)造的兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)依次為（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點(diǎn)從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n﹣1．
故選B．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：或才能正確解答此題．