Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅲ）該函數(shù)f（x）由y=sinx通過怎樣的圖象變換得到．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式和兩角差的正弦公式化簡解析式，再求出函數(shù)的最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間得，2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，再求出x的范圍；
（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換法則，寫出圖象變換的過程．

解答：解：（1）由題意得，
f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

（　�。﹌∈z得，
kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z，
即單調(diào)為遞增區(qū)間[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈z），
（3）函數(shù)y=sinx圖象先向右平移

π

4

各單位，再把圖象上各個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="yimtrcz" class="MathJye">

1

2

倍，縱坐標不變，再把各個點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="razfjwy" class="MathJye">

2

倍，橫坐標不變，即得到函數(shù)f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的圖象．

點評：本題考查了倍角公式和兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，及三角函數(shù)圖象的平移變換法則，屬于中檔題，