Question

已知：三定點(diǎn)，動(dòng)圓M線AB相切于N，且|AN|-|BN|=，現(xiàn)分別過點(diǎn)A、B作動(dòng)圓M的切線，兩切線交于點(diǎn)P．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線3x-3my-2截動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所得弦長為2，求m的值；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可推斷出：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|，進(jìn)而利用雙曲線的定義推斷出P的軌跡為雙曲線的一部分，設(shè)出雙曲線的方程利用題意可求得a和c，則b可求得，進(jìn)而求得雙曲線的方程．
（2）設(shè)出直線與P的軌跡交與Q₁和Q₂，利用雙曲線的定義表示出Q₁Q₂，把直線與雙曲線的方程聯(lián)立，消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，求得m．
（3）先通過x=時(shí)，求得BP，BC進(jìn)而猜想出λ的值，進(jìn)而看x≠時(shí)，設(shè)出P的坐標(biāo)代入橢圓的方程，表示出tan∠PCB，利用正切的二倍角公式求得tan2∠PCB，進(jìn)而tan∠PBC=-tan∠PBx判斷出tan2∠PCB=tan∠PBC，進(jìn)而可知存在λ=2，使題設(shè)成立．
解答：解：（1）由平幾知識(shí)得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=＞|AB|=
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A、B為焦點(diǎn)的雙曲線（部分）
設(shè)它的方程為，則
解得：，故所求的方程為
（2）設(shè)直線3x-3my-2=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡相交于是Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂），
∵直線3x-3my-2=0恒過雙曲線的焦點(diǎn)B
∴由雙曲線定義知|Q₁Q₂|=
∴x₁+x₂=
若m=0，則x₁=x₂=，此時(shí)，即|Q₁Q₂|=2合題意若m≠0，由，消去y得：=1，
化簡得：（27m²-9）x²+12x-3m²-4=0，x₁+x₂=
解得m=0與m≠0矛盾．
∴m=0
（3）當(dāng)x=時(shí)，|BP|=1，|BC|=1，此時(shí)∠PCB=45°，∠PBC=90°
猜想λ=2
當(dāng)x≠時(shí)，設(shè)P（x，y）則{y^2}=，且tan∠PCB=
∴tan2∠PCB=
而tan∠PBC=-tan∠PBx=
∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合利用以及的基本的運(yùn)算能力．