Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=3，b=5，

AC

•

CB

=

15

2

（1）求角C的值；  
（2）求sin（A+

π

3

）的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,余弦定理

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據數量積得到

AC

•

CB

=bccos（π-C）=-15cosC=

15

2

，求得C=

2

3

π．
（2）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC求得c的值，再再由正弦定理得sinA值，再求出sin（A+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）∵角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=3，b=5，

AC

•

CB

=

15

2

，
∴

AC

•

CB

=bccos（π-C）=-15cosC=

15

2

，
∴cosC=-

1

2

，
又0＜C＜π，
∴C=

2

3

π．
（2）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得
c²=3²+5²-2×3×5×（-

1

2

）=49，
∴c=9，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

，
再由正弦定理得，
sinA=

asinC

c

=

3 13

14

，
∴cosA=

1-( 3 3 14 )2

=

13

14

，
∴sin（A+

π

3

）=sinACcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

4 3

7

點評：本題主要考查了平面向量的綜合題，考查了余弦定理的應用，熟練掌握公式是解決此題的關鍵．