設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點是F1和F2，長軸是A1A2，P是橢圓上異于A1、A2的點，考慮如下四個命題：
①|(zhì)PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|；
②a-c＜|PF1|＜a+c；
③若b越接近于a，則離心率越接近于1；
④直線PA1與PA2的斜率之積等于-
b2
a2
．
其中正確的命題是（　�。�
A．①②④B．①②③C．②③④D．①④
①由橢圓的定義和性質(zhì)可得：|PF1|+|PF2|=2a，|A1F1|+|A1F2|=a-c+a+c=2a，
∴|A1F1|+|A1F2|=|PF1|+|PF2|，∴|PF1|-|A1F1|=|A1F2|-|PF2|，因此正確；
②∵|A1F1|＜|PF1|＜|AF2|，∴a-c＜|PF1|＜a+c，因此正確；
③由離心率計算公式e=
c
a
=
1-
b2
a2
可知：b越接近于a，則離心率越接近于0，因此③不正確；
④設(shè)P（x，y）（x≠±a），由
x2
a2
+
y2
b2
=1可得y2=b2(1-
x2
a2
)=
b2
a2
(a2-x2)，
則kPA1•kPA2=
y-0
x+a
•
y-0
x-a
=
y2
x2-a2
=
b2
a2
(a2-x2)
x2-a2
=-
b2
a2
，因此④正確．
綜上可知：正確的是①、②、④．
故選：A．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

（文）橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球（小球的半徑忽略不計）從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
36
+
y2
27
=1，過右焦點F作不垂直于x軸的弦交橢圓于A、B兩點，AB的垂直平分線交x軸于N，則|NF|：|AB|等于______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的焦距；
（Ⅱ）如果
AF2
=2
F2B
，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知兩點A（-1，0），B（1，0），且點C（x，y）滿足
(x-1)2+y2
|x-4|
=
1
2
，則|AC|+|BC|=（　�。�
A．6B．2C．4D．不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上到點A（0，b）距離最遠(yuǎn)的點是B（0，-b），則橢圓的離心率的取值范圍為（　�。�
A．(0，
6
3
]		B．[
6
3
，1)		C．(0，
2
2
]		D．[
2
2
，1)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點，點F為左焦點，點B為短軸的上頂點，點A為長軸的右頂點．當(dāng)
FB
⊥
BA
時，橢圓被稱為“黃金橢圓”，則“黃金橢圓”的離心率e等于（　　）
A．
5
-1
2
B．
5
+1
4
C．
3
-1
2
D．
3
+1
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點是F1（-c，0）、F2（c，0），M是橢圓上一點，且
F1M
•
F2M
=0，則離心率e的取值范圍是 ______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)P為橢圓
x2
16
+
y2
9
=1上的動點，則P到直線x+y-6=0的最小距離為（　�。�
A．1B．2C．
2
2
D．
2

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同步練習(xí)冊答案