Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角：
（3）若點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范圍．

Answer 1

解：（1）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），E（，0，1），B（1，1，0），F(xiàn)（1，，1）．
∴=（0，，1），=（-，-1，1），
∴cos==；
（2）平面ACC₁的一個法向量為
設(shè)平面BFC₁的法向量為
由，可得，
∴，可取z=1，則
∴cos===
∵為銳角
∴所求的銳二面角為；
（3）設(shè)P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），則
由得，即x=-2y+，
∵0≤x≤1，∴0≤-2y+≤1，∴
∵
∴==
∵，∴當(dāng)y=時，=；當(dāng)y=時，=，
故EP的取值范圍為[，]．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量、，利用向量的夾角公式，可求異面直線AF和BE所成的角的余弦值：
（2）確定平面ACC₁、平面BFC₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角；
（3）用坐標(biāo)表示出，求出模長，利用配方法，即可求得EP的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查向量知識的運(yùn)用，考查線線角、面面角，考查線段長的取值范圍，考查學(xué)生的計算能力，用坐標(biāo)表示向量是關(guān)鍵．