Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（3，），橢圓的離心率e=，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點(diǎn)A、B．
①若直線MA過坐標(biāo)原點(diǎn)O，試求△MAF₂外接圓的方程；
②若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的離心率化簡方程，根據(jù)橢圓過點(diǎn)M（3，），即可求橢圓C的方程；
（2）①求得MA的中垂線方程、MF₂的中垂線方程，從而可得圓心與半徑，即可求△MAF₂外接圓的方程；
②直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由橢圓的離心率e=，可得a²=9b²，故橢圓方程為…（3分）
又橢圓過點(diǎn)M（3，），則，解得b²=4，
所以橢圓的方程為…（5分）
（2）①記△MAF₂的外接圓的圓心為T．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125801593596862/SYS201310251258015935968017_DA/8.png">，所以MA的中垂線方程為y=-3x，
又由M（3，），F(xiàn)₂（，0），得MF₁的中點(diǎn)為，
而=-1，
所以MF₂的中垂線方程為，
由，得T（） …（8分）
所以圓T的半徑為=，
故△MAF₂的外接圓的方程為…（10分）
（3）設(shè)直線MA的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₂＞x₁）
由題直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，
∴直線MB的斜率為-k．
聯(lián)立直線MA與橢圓方程，可得（9k²+1）x²+x+162k²-108k-18=0
∴x₁+x₂=-，…（13分）
又
∴==為定值…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形的外接圓，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．