Question

（2012•三明模擬）（1）選修4-2：矩陣與變換
設(shè)矩陣M=

1 a b 1

．
（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（II）若曲線C：x²+4xy+2y²=1在矩陣M的作用下變換成曲線C'：x²-2y²=1，求a+b的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合．圓C的參數(shù)方程為

x=1+2cosα y=-1+2sinα

（α為參數(shù)），點(diǎn)Q極坐標(biāo)為(2，

7π

4

)．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn)，求P、Q兩點(diǎn)距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|．
（Ⅰ）求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥4的解集為A，求集合A．

Answer 1

分析：（1）（I）設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=

x1y1 x2y2

，則MM-1=

10 01

，建立方程組，即可求得所求的逆矩陣；
（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P'（x'，y'），可得

x+ay=x′ bx+y=y′

，利用點(diǎn)P'（x'，y'）在曲線C'上，可得曲線C的方程，根據(jù)已知曲線C的方程，比較系數(shù)可得結(jié)論；
（2）（I）先求圓C的普通方程，展開，再化為極坐標(biāo)方程；
（II）點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（2，-2），且點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，求出|QC|=

2

，可得P，Q兩點(diǎn)距離的最小值；
（3）（I）利用絕對(duì)值的運(yùn)用，寫出分段函數(shù)，從而可求y=f（x）的最小值；
（II）利用分段函數(shù)，根據(jù)f（x）≥4，列出不等式，即可求得不等式f（x）≥4的解集．

解答：（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
解：（I）設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=

x1y1 x2y2

，則MM-1=

10 01

．又M=

12 31

，
所以

12 31

x1y1 x2y2

=

10 01

，所以x₁+2x₂=1，3x₁+x₂=0，y₁+2y₂=0，3y₁+y₂=1，
即x1=-

1

5

，y1=

2

5

，x2=

3

5

，y2=-

1

5

，
故所求的逆矩陣M-1=

- 1 5 2 5 3 5 - 1 5

．…（4分）
（II）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P'（x'，y'），則

1 a b 1

x y

=

x′ y′

，即

x+ay=x′ bx+y=y′

，…（5分）
又點(diǎn)P'（x'，y'）在曲線C'上，所以x'²-2y'²=1，則（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為x²+4xy+2y²=1，
比較系數(shù)可得

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，解得b=0，a=2，∴a+b=2．…（7分）
（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
解：（I）圓C普通方程為（x-1）²+（y+1）²=4，
展開得x²+y²-2x+2y-2=0，…（2分）
化為極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0．      …（4分）
（II）點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（2，-2），且點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，
因?yàn)?span id="wieakko" class="MathJye">|QC|=

2

，所以P，Q兩點(diǎn)距離的最小值為|PC|=2-

2

．    …（7分）
（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
解：（I）f(x)=

-2x+1，(x≤-1) 3，(-1＜x＜2) 2x-1，(x≥2)

所以y=f（x）的最小值為3．…（4分）
（II） 由（I）可知，當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）≥4，即-2x+1≥4，此時(shí)x≤-

3

2

；
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）≥4，即2x-1≥4，此時(shí)x≥

5

2

．
因此不等式f（x）≥4的解集為A為{|x≤-

3

2

或x≥

5

2

}．      …（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查選修知識(shí)，考查矩陣與變換，考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程，考查不等式選講，綜合性強(qiáng)．