【題目】設函數f(x)=ax2-1-lnx,其中a∈R.
(1)若a=0,求過點(0,-1)且與曲線y=f(x)相切的直線方程;
(2)若函數f(x)有兩個零點x1,x2,
① 求a的取值范圍;
② 求證:f ′(x1)+f ′(x2)<0.
【答案】(1) y=-x-1 (2) ① (0,e).②見解析
【解析】試題分析:(1)設切點為T(x0,-1-lnx0),得切線:y+1+lnx0=- ( x-x0),將點(0,-1)代入求解即可;
(2)①求導f ′(x)=,討論a≤0,和a>0時函數的單調性求解即可;
②由x1,x2是函數f(x)的兩個零點(不妨設x1<x2),得 ,兩式作差得a(x1+x2)=,代入要證得式子得2ln+->0,令h(x)=2lnx+-x,x∈(0,1),求導利用單調性求最值即可證得.
試題解析:
(1)當a=0時,f(x)=-1-lnx,f ′(x)=-.
設切點為T(x0,-1-lnx0),
則切線方程為:y+1+lnx0=- ( x-x0).
因為切線過點(0,-1),所以 -1+1+ln x0=-(0-x0),解得x0=e.
所以所求切線方程為y=-x-1.
(2)① f ′(x)=ax-=,x>0.
(i) 若a≤0,則f ′(x)<0,所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減,
從而函數f(x)在(0,+∞)上至多有1個零點,不合題意.
(ii)若a>0,由f ′(x)=0,解得x=.
當0<x<時, f ′(x)<0,函數f(x)單調遞減;當x>時, f ′(x)>0,f(x)單調遞增,
所以f(x)min=f()=-ln-1=--ln.
要使函數f(x)有兩個零點,首先 --ln<0,解得0<a<e.
當0<a<e時,>>.
因為f()=>0,故f()·f()<0.
又函數f(x)在(0,)上單調遞減,且其圖像在(0,)上不間斷,
所以函數f(x)在區(qū)間(0,)內恰有1個零點.
考察函數g(x)=x-1-lnx,則g′(x)=1-=.
當x∈(0,1)時,g′(x)<0,函數g(x)在(0,1)上單調遞減;
當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,函數g(x)在(1,+∞)上單調遞增,
所以g(x)≥g(1)=0,故f()=-1-ln≥0.
因為-=>0,故>.
因為f()·f()≤0,且f(x)在(,+∞)上單調遞增,其圖像在(,+∞)上不間斷,
所以函數f(x)在區(qū)間(,] 上恰有1個零點,即在(,+∞)上恰有1個零點.
綜上所述,a的取值范圍是(0,e).
②由x1,x2是函數f(x)的兩個零點(不妨設x1<x2),得
兩式相減,得 a(x12-x22)-ln=0,即a(x1+x2) (x1-x2)-ln=0,
所以a(x1+x2)=.
f ′(x1)+f ′(x2)<0等價于ax1-+ax2-<0,即a(x1+x2)--<0,
即--<0,即2ln+->0.
設h(x)=2lnx+-x,x∈(0,1).則h′(x)=--1==-<0,
所以函數h(x)在(0,1)單調遞減,所以h(x)>h(1)=0.
因為∈(0,1),所以2ln+->0,
即f ′(x1)+f ′(x2)<0成立.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設橢圓C: =1的離心率e= ,動點P在橢圓C上,點P到橢圓C的兩個焦點的距離之和是4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若橢圓C1的方程為 =1(m>n>0),橢圓C2的方程為 =λ(λ>0,且λ≠1),則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓.已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓.若過橢圓C上動點P的切線l交橢圓C2于A,B兩點,O為坐標原點,試證明當切線l變化時|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某小型企業(yè)甲產品生產的投入成本(單位:萬元)與產品銷售收入(單位:萬元)存在較好的線性關系,下表記錄了最近5次產品的相關數據.
(投入成本) | 7 | 10 | 11 | 15 | 17 |
(銷售收入) | 19 | 22 | 25 | 30 | 34 |
(1)求關于的線性回歸方程;
(2)根據(1)中的回歸方程,判斷該企業(yè)甲產品投入成本20萬元的毛利率更大還是投入成本24萬元的毛利率更大()?
相關公式: , .
【答案】(1).(2)投入成本20萬元的毛利率更大.
【解析】試題分析:(1)由回歸公式,解得線性回歸方程為;(2)當時, ,對應的毛利率為,當時, ,對應的毛利率為,故投入成本20萬元的毛利率更大。
試題解析:
(1), ,
, ,故關于的線性回歸方程為.
(2)當時, ,對應的毛利率為,
當時, ,對應的毛利率為,
故投入成本20萬元的毛利率更大.
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】如圖,在正方體中, 分別是棱的中點, 為棱上一點,且異面直線與所成角的余弦值為.
(1)證明: 為的中點;
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD – A1B1C1D1中,點E,F,G分別是棱BC,A1B1,B1C1的中點.
(1)求異面直線EF與DG所成角的余弦值;
(2)設二面角A—BD—G的大小為θ,求 |cosθ| 的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數f(x)=|x﹣2|+|x+a|(a∈R).
(1)若a=1時,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若不等式f(x)≤2x的解集為[1,+∞),求a的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,左右焦點分別為和,以點為圓心,以為半徑的圓與以點為圓心,以為半徑的圓相交,且交點在橢圓上.
()求橢圓的方程.
()設橢圓, 為橢圓上任意一點,過點的直線交橢圓于、兩點,射線交橢圓于點.
①求的值.
②(理科生做)求面積的最大值.
③(文科生做)當時, 面積的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法中不正確的序號為____________.
①若函數在上單調遞減,則實數的取值范圍是;
②函數是偶函數,但不是奇函數;
③已知函數的定義域為,則函數的定義域是;
④若函數在上有最小值-4,(,為非零常數),則函數 在上有最大值6.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,點E、F分別在棱BB1、CC1上,且BE= BB1 , C1F= CC1 .
(1)求平面AEF與平面ABC所成角α的余弦值;
(2)若G為BC的中點,A1G與平面AEF交于H,且設 = ,求λ的值.
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