Question

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且，，側(cè)面底面. 若.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，指出點(diǎn) 的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

(1) 對(duì)于線面垂直的證明主要是根據(jù)線面垂直的判定定理，先通過線線垂直來得到證明。(2)

試題分析：解法一：
（Ⅰ）因?yàn)?，所以.
又因?yàn)閭?cè)面底面，且側(cè)面底面，所以底面.而底面，所以.     2分
在底面中，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010446320827.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以 ， 所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010446414615.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以平面.            4分

（Ⅱ）在上存在中點(diǎn)，使得平面，
證明如下：設(shè)的中點(diǎn)是， 連結(jié)，，，則，且. 由已知，所以. 又，所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010446819484.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面.           8分
（Ⅲ）設(shè)為中點(diǎn)，連結(jié)，

則 .又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010446991551.png" style="vertical-align:middle;" />平面，
所以 平面.過作于，
連結(jié)，則，所以
所以是二面角的平面角.
設(shè)，則, .在中，由相似三角形可得：，所以.所以 ，.即二面角的余弦值為.                 14分

解法二：因?yàn)?，所以.
又因?yàn)閭?cè)面底面，
且側(cè)面底面，所以 底面.又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010447537671.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，兩兩垂直.分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)，則，，，，. 
（Ⅰ），，,
可得 ，，所以，.
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010448021621.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以平面.              4分
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱的中點(diǎn)是， 則，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則  
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010448192669.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以   取，則.
所以， 所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824010446819484.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面.               8分
（Ⅲ）由已知，平面，所以為平面的一個(gè)法向量.
由（Ⅱ）知，為平面的一個(gè)法向量.
設(shè)二面角的大小為，由圖可知，為銳角，
所以.即二面角的余弦值為.    14分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是能熟練的借助于線面垂直的判定定理來證明，同時(shí)能結(jié)合二面角的平面角的概念來運(yùn)用向量法或者是幾何法加以證明，屬于中檔題。