Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為等邊三角形，且2AA₁=AB，D、E、F分別是B₁C₁，A₁B，A₁C的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C；
（3） 求直線A₁D與平面A₁BC所成的角．

Answer 1

（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A₁B，A₁C的中點(diǎn)，
所以EF∥BC，（2分）
又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
所以EF∥平面ABC．（4分）
（2）證明：因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
所以BB₁⊥平面A₁B₁C₁，又A₁D?平面A₁B₁C₁，
所以BB₁⊥A₁D，（6分）
又△A₁B₁C₁為等邊三角形，D是B₁C₁的中點(diǎn)，∴A₁D⊥B₁C₁，
又B₁C₁∩BB₁=B₁，所以A₁D⊥平面BB₁C₁C，
又A₁D?平面A₁FD，
所以，平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．（8分）
（3）解：取M為BC的中點(diǎn)，連接DM，A₁M．
易知A₁B=A₁C，∴A₁M⊥BC
又DM⊥BC，A₁M∩DM=M，∴BC⊥平面A₁DM，又BC?平面A₁BC，
∴平面A₁DM⊥平面A₁BC，（10分）
∴∠DA₁M即為直線A₁D與平面A₁BC所成的角．（11分）
不妨設(shè)AA₁=a，則DM=a，AB=2a，
∴．（13分）
又∠DA₁M∈（0°，90°），
∴∠DA₁M=30°，即直線A₁D與平面A₁BC所成的角為30°．（14分）
分析：（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是A₁B，A₁C的中點(diǎn)，根據(jù)中位線可知EF∥BC，又EF?平面ABC，BC?平面ABC，
根據(jù)線面平行的判定定理可知以EF∥平面ABC．
（2）根據(jù)三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，則BB₁⊥平面A₁B₁C₁，又A₁D?平面A₁B₁C₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知A₁D⊥平面BB₁C₁C，又A₁D?平面A₁FD，最后根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．
（3）取M為BC的中點(diǎn)，連接DM，A₁M，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁DM，又根據(jù)面面垂直的判定定理可知平面A₁DM⊥平面A₁BC，從而∠DA₁M即為直線A₁D與平面A₁BC所成的角，不妨設(shè)AA₁=a，則DM=a，AB=2a，，在三角形DA₁M中求出此角即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行，以及直線與平面所成的角和面面垂直的判定等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．