Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且點(diǎn)P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)?n∈N^*總有成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上．
∴S_n=3a_n+1
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3a₁+1，∴
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-1（n≥2）
即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列
∴．
（2）∵，
∴
∴=
=＞-6
∵對(duì)?n∈N^*總有成立
∴必須并且只需即m≥13．
∴m的最小值為13．
分析：（1）先利用點(diǎn)P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）總在直線x-3y-1=0上求出S_n=3a_n+1；再根據(jù)已知前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的方法即可數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先利用上面的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入數(shù)列的求和公式求出T_n，進(jìn)而求出其最大值（或其最大值的臨界值）；最后再與比較即可求出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的綜合知識(shí)以及數(shù)列與不等式相結(jié)合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于把“對(duì)?n∈N^*總有成立'轉(zhuǎn)化為求T_n的最大值（或其最大值的臨界值）問題．