Question

設函數f（x）=e^x-ax-2，其導函數為f′（x）．
（Ⅰ）若a=1，求函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若a=1，k為整數，且當x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導數，確定切線的斜率，切點的坐標，可得函數f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，利用導數的正負，可求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）當x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0等價于k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0），令g（x）=

x+1

ex-1

+x，求最值，即可求k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）因為a=1時，f（x）=e^x-x-2，所以f′（x）=e^x-1，f′（0）=-1，
故切線方程是y=-1；                                 …3分
（Ⅱ）f（x）的定義域為R，f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在R上單調遞增；           …5分
若a＞0，則f′（x）=0解得x=lna．
當x變化時，f′（x），f（x）變化如下表：

x	（-∞，lna）	lna	（lna，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

所以，f（x）的單調減區(qū)間是：（-∞，lna），增區(qū)間是：（lna，+∞）．…8分
（Ⅲ）由于a=1，所以（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（e^x-1）+x+1．
故當x＞0時，（x-k）f′（x）+x+1＞0等價于k＜

x+1

ex-1

+x（x＞0）①…10分
令g（x）=

x+1

ex-1

+x，則g′（x）=

ex(ex-x-2)

(ex-1)2

．…12分
由（Ⅰ）知，函數f（x）=e^x-x-2在（0，+∞）上單調遞增，而h（1）＜0，h（2）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）存在唯一的零點．
故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零點．
設此零點為a，則a∈（1，2）．
當x∈（0，a）時，g′（x）＜0；當x∈（a，+∞）時，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）的最小值為g（a）．
又由g′（a）=0，可得e^a=a+2，所以g（a）=a+1∈（2，3）．
由于①式等價于k＜g（a），故整數k的最大值為2．…14分．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查函數的單調性，考查函數的最值，正確求導、確定函數的單調性是關鍵．