Question

已知數(shù)列{ }、{ }滿足：.
（1）求          
（2）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列，并求數(shù)列和{ }的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，求實(shí)數(shù)為何值時(shí) 恒成立.

Answer 1

（1）；（2）證明見(jiàn)解析，，；（3）≤1.

試題分析：（1）遞推依次求得；（2）可得，化簡(jiǎn)可證為等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出和{ }的通項(xiàng)公式；（3）裂項(xiàng)法可求，則代入 ，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為，利用一元二次函數(shù)知識(shí)可得≤1.
解：（1） ∵，∴；        4分
（2）∵，
∴，，
∴ ， ∴ 數(shù)列{}是以4為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，   6分
∴， ，  ∴ ；         8分
（3）  ， ∴，
∴，        10分
由條件可知恒成立即可滿足條件，
設(shè)，
當(dāng)＝1時(shí)，恒成立,
當(dāng) >1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立,
當(dāng)<l時(shí)，對(duì)稱軸 ,              13分
f(n)在為單調(diào)遞減函數(shù),    ,
∴    ∴<1時(shí)恒成立,             
綜上知：≤1時(shí)，恒成立.   14分