Question

已知方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四個根組成一個首項為1的等比數列，則mn=

-14

．

Answer 1

分析：根據一元二次方程根與系數的關系和等比數列性質分析，四個根組成的首項為 1的等比數列的首項與末項的積等于第二項與第三項的積等于-8，從而確定數列的每一項，再由兩根之和分別為m、n，即可求出結果．

解答：解：∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0?x²-mx-8=0 ①或x²-nx-8=0 ②
設方程①兩根為x₁，x₄，方程②兩根為x₂，x₃，則，x₁x₄=-8，x₁+x₄=m  x₂x₃=-8，x₂+x₃=n
∵方程（x²-mx-8）（x²-nx-8）=0的四個根組成一個首項為 1的等比數列
∴x₁，x₂，x₃，x₄分別為這個數列的前四項，且x₁=1，x₄=-8，公比為-2，
∴x₂=-2，x₃=4，
∴m=x₁+x₄=1-8=-7，n=x₂+x₃=-2+4=2，
故則mn=-14．
故答案為：-14．

點評：本題綜合考查了一元二次方程根與系數的關系和等比數列的性質，解題時要認真觀察，熟練運用性質．