Question

求式子（|x|+

1

|x|

-2）³的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：解法一：利用分步乘法原理展開式中的常數(shù)項(xiàng)是三種情況的和，
解法二：先將(|x|+

1

|x|

-2)2利用完全平方公式化成二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求得第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)．

解答：解法一：（|x|+

1

|x|

-2）³=（|x|+

1

|x|

-2）（|x|+

1

|x|

-2）（|x|+

1

|x|

-2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：
①三個(gè)括號(hào)中全取-2，得（-2）³；
②一個(gè)括號(hào)取|x|，一個(gè)括號(hào)取

1

|x|

，一個(gè)括號(hào)取-2，得C₃¹C₂¹（-2）=-12，
∴常數(shù)項(xiàng)為（-2）³+（-12）=-20．
解法二：（|x|+

1

|x|

-2）³=（

|x|

-

1

|x|

）⁶．
設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
則T_r+1=C₆^r•（-1）^r•（

1

|x|

）^r•|x|^6-r=（-1）⁶•C₆^r•|x|^6-2r，得6-2r=0，r=3．
∴T₃₊₁=（-1）³•C₆³=-20．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的重要工具有二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；還有分步乘法原理．