設函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內有定義.對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)fk(x)=
f(x),f(x)≥K
K,f(x)<K
,取函數(shù)f(x)=2+x+e-x.若對任意的x∈(+∞,-∞),恒有fk(x)=f(x),則( 。
分析:由已知條件可得k≤f(x)min,用導數(shù)確定函數(shù)函數(shù)的單調性,求解函數(shù)的最值,進而求出k的范圍,進一步得出所要的結果.
解答:解:由題意可得出k≤f(x)min,
由于f′(x)=1-e-x,令f′(x)=0,e-x=1=e0解出x=0,
當x>0時,f′(x)>0,f(x)單調遞減,
當x<0時,f′(x)<0,f(x)單調遞增.
故當x=0時,f(x)取到最小值f(0)=2+1=3.
故當k≤3時,恒有fk(x)=f(x)
因此k的最大值為3.
故選C.
點評:本題考查學生對新定義型問題的理解和掌握程度,理解好新定義的分段函數(shù)是解決本題的關鍵,將所求解的問題轉化為求解函數(shù)的最值問題,利用了導數(shù)的工具作用,體現(xiàn)了恒成立問題的解題思想.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內有定義.對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù) fk(x)=
f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K
,取函數(shù)f(x)=2-x-e-x.若對任意的x∈(+∞,-∞),恒有fk(x)=f(x),則(  )
A、K的最大值為2
B、K的最小值為2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內有定義,對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù):fK(x)=
f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)>K
,取函數(shù)f(x)=(
1
2
)|x|
,當K=
1
2
時,函數(shù)fK(x)的值域是
 

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設函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的導數(shù)為f′(x),f′(x)在(a,b)上的導數(shù)為f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凸函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2
為區(qū)間(-1,3)上的“凸函數(shù)”,則m=
2
2

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