Question

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD的邊BC垂直于圓O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）求三棱錐F-ABC的體積V_F-ABC．

Answer 1

解：（Ⅰ）設DF的中點為N，連接MN、AN，則
∵△CDF中，M、N分別為CF、DF的中點
∴MN∥CD且MN=CD，
又∵矩形ABCD中，AO∥CD且AO=CD，
∴MN∥AO且MN=AO，得四邊形MNAO為平行四邊形 …（2分）
∴OM∥AN，又AN?平面DAF，OM?平面DAF…（4分）
∴OM∥平面DAF…（6分）
（Ⅱ）∵圓O中，EF∥AB，
∴AF=BE，四邊形ABEF是等腰梯形
∵AB=2，AF⊥BF，EF=1
∴AF=BE=1，BF=，…（8分）
因此，…（10分）
又∵CB⊥平面ABEF
∴V_F-ABC=…（12分）
分析：（I）設DF的中點為N，連接MN、AN，利用三角形中位線定理并結合矩形ABCD的性質，得四邊形MNAO為平行四邊形，從而OM∥AN，可得OM∥平面DAF；
（II）在圓O中根據平面幾何知識，得等腰梯形ABEF中，AF=BE=1且BF=，算出△ABF的面積，根據BC⊥平面ABEF，結合錐體體積公式可算出三棱錐F-ABC的體積V_F-ABC．
點評：本題在特殊的四棱錐中證明線面平行，并求三棱錐的體積，著重考查了空間的線面垂直、線面平行的判定與性質，錐體體積的求法等知識，屬于中檔題．