Question

已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）=lnx-ax．若函數f（x）在其定義域上有且僅有四個不同的零點，則實數a的取值范圍是

0＜a＜e

．

Answer 1

分析：利用函數奇偶性的對稱性，只要保證x＞0時，函數f（x）上有且僅有兩個不同的零點即可．

解答：解：因為f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，
所以要使函數f（x）在其定義域上有且僅有四個不同的零點，
則只需函數f（x）在x＞0上有且僅有兩個不同的零點即可．
由f（x）=lnx-ax=0得lnx=ax．
設y=lnx，y=ax．
當直線y=ax與y=lnx相切時，
設切點為（x₀，b），則y'=

1

x

，
則切線斜率為k=

1

x0

，所以切線方程為y-lnx0=

1

x0

(x-x0)=

1

x0

x-1，
因為切線過原點，所以有l(wèi)nx₀=-1，
解得x0=

1

e

，此時k=

1

x0

=e．
所以要使y=lnx與y=ax有兩個不同的交點，則0＜a＜e．
故答案為：0＜a＜e．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及函數與方程的關系，綜合性較強．