如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=AA1=2
2
,點D是AB的中點,點E是BB1的中點.
(1)求證:A1B⊥平面CDE;
(2)求二面角D-CE-A1的大。
分析:(1)欲證A1B⊥平面CDE,只需證明A1B垂直平面CDE內(nèi)兩條相交直線即可,而A1B⊥DE,CD⊥A1B,CD∩DE=D,CD,DE?面CDE,滿足線面垂直的判定定理,結(jié)論得證;
(2)由題意,∠ACB=90°,以C 為坐標原點,CA,CB,CC1,分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,用坐標表示向量,進而可求平面的法向量,從而利用數(shù)量積公式可求.
解答:證明:(1)∵AA1⊥底面ABC,CD?面ABC
∴AA1⊥CD
∵AC=BC,點D是AB的中點
∴AB⊥CD
∵AA1∩AB=A,AA1,AB?面A1ABB1∴CD⊥面A1ABB1
∵A1B?面A1ABB1
∴CD⊥A1B
∵正方形A1ABB1中,DE∥AB1,A1B⊥AB1
∴A1B⊥DE
∵CD∩DE=D,CD,DE?面CDE
∴A1B⊥面CDE
(2)由題意,∠ACB=90°
以C 為坐標原點,CA,CB,CC1,分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,則
C(0.0,0),A1(2,0,2
2
),E(0,2,
2
),D(1,1,0)
CE
=(0,2,
2
),
CA1
=(2,0,2
2
),
CD
=(1,1,0)

∴平面的法向量分別為(2,1,-
2
),(2,-2,-
2
),
cosα=
4
2
15
=
2
15
15

∴二面角D-CE-A1的大小 arccos
2
15
15
點評:本題以直三棱柱為載體,考查線面垂直的判定定理,考查面面角,同時考查了計算能力和論證推理能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年四川省招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué) 題型:解答題

 

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一[來源:]

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年高考試題數(shù)學(xué)理(四川卷)解析版 題型:解答題

 (本小題共l2分)

    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一

P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;   

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

 

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:四川省高考真題 題型:解答題

如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中,∠ BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA。
(I)求證:CD=C1D;
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離

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    如圖,在直三棱柱AB-A1B1C1中.∠ BAC=90°,AB=AC=AA1 =1.D是棱CC1上的一點,P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點,且PB1∥平面BDA.

(I)求證:CD=C1D:

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

(Ⅲ)求點C到平面B1DP的距離.

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