Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）證明：數列{

n+1

n

Sn}是等差數列，并求S_n；
（2）設bn=

Sn

n3

，求證：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an-n(n-1)可得，當n≥2時：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，兩式相減可得{

n+1

n

Sn}是等差數列，結合等差數列的通項公式可求

n+1

n

Sn，進而可求
（2）由（1）可得bn=

Sn

n3

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項相消法可求和，即可證明

解答：證明：（1）由Sn=n2an-n(n-1)知，
當n≥2時：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，…（1分）
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，對n≥2成立．                        …（3分）
又

1+1

1

S1=1
∴{

n+1

n

Sn}是首項為1，公差為1的等差數列．
∴

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1…（5分）
∴Sn=

n2

n+1

…（6分）
（2）bn=

Sn

n3

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（8分）
∴b1+b2+…+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1…（12分）

點評：本題主要考查了數列的和與項相互轉化的遞推公式在數列的通項公式的求解中的應用，裂項求和方法的應用是證明（2）的關鍵