Question

已知F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，
（1）若△ABE是銳角三角形，求該雙曲線的離心率e的取值范圍；
（2）若E（1，0），e=

3

，過圓O：x²+y²=2上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線于M，N兩點，試判斷：∠MON的大小是否為定值？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)雙曲線的對稱性，得到等腰△ABE中，∠AEB為銳角，可得|AF|＜|EF|，將此式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的不等式，化簡整理即可得到該雙曲線的離心率e的取值范圍．
（2）雙曲線方程為x²-

y2

2

=1．設(shè)直線MN的方程為y=kx+b，聯(lián)立

y=kx+b x2- y2 2 =1

，得（2-k²）x²-2kbx-（b²+2）=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由已條件利用韋達(dá)定理得

OM

•

ON

=0，從而∠MON=90°為定值．

解答： 解：（1）根據(jù)雙曲線的對稱性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是銳角三角形，即∠AEB為銳角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=

b2

a

=

c2-a2

a

，|EF|=a+c，
∴

c2-a2

a

＜a+c，即2a²+ac-c²＞0
兩邊都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，
∵雙曲線的離心率e＞1
∴該雙曲線的離心率e的取值范圍是（1，2）．
（2）∵E（1，0），e=

3

，
∴

a=1 c a = 3

，∴b=

3-1

=

2

，
∴雙曲線方程為x²-

y2

2

=1．
設(shè)直線MN的方程為y=kx+b，
聯(lián)立

y=kx+b x2- y2 2 =1

，得（2-k²）x²-2kbx-（b²+2）=0，
由直線l與雙曲線交于M，N點，
故2-k²≠0，△＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=

2kb

2-k2

，x1x2=

-(b2+2)

2-k2

，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=

-k2b2-2k2

2-k2

+

2k2b2

2-k2

+

2b2-k2b2

2-k2

=

2b2-2k2

2-k2

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

-b2-2

2-k2

+

2b2-2k2

2-k2

=

b2-2(1+k2)

2-k2

，
∵b²=2（1+k²），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

OM

⊥

ON

，∴∠MON=90°為定值．

點評：本題給出雙曲線過一個焦點的通徑與另一個頂點構(gòu)成銳角三角形，求雙曲線離心率的范圍，考查角的大小是否為定值的判斷與求法，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識．