已知向量
a
=(2sin
x
3
，2cos
x
3
)，
b
=(cos
π
6
，sin
π
6
)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
（x∈R）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)α，β∈[0，
π
2
]，f(3α+π)=
16
5
，f(3β+
5π
2
)=-
20
13
，求cos（α+β）的值．
分析：（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及逆用兩角和的正弦即可求得y=f（x）的表達(dá)式；
（2）依題意，由f（3α+π）=
16
5
可求得cosα與sinα的值；同理，由f（3β+
5π
2
）=-
20
13
，可求得sinβ與cosβ的值，從而可求cos（α+β）．
解答：解：（1）依題意得f（x）=2sin
x
3
cos
π
6
+2cos
x
3
sin
π
6
=2sin（
x
3
+
π
6
）（4分）
（2）由f（3α+π）=
16
5
得4sin[
1
3
（3α+π）+
π
6
]=
16
5
，
即4sin（α+
π
2
）=
16
5
，
∴cosα=
4
5
，
又∵α∈[0，
π
2
]，
∴sinα=
1-cos2α
=
3
5
，（8分）
由f（3β+
5π
2
）=-
20
13
，
得4sin[
1
3
（3β+
5π
2
）+
π
6
]=-
20
13
，即4sin（β+π）=-
20
13
，
∴sinβ=
5
13
，又∵β∈[0，
π
2
]，
∴cosβ=
1-sin2β
=
12
13
，（12分）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=
4
5
×
12
13
-
3
5
×
5
13
=
33
65
（14分）
點(diǎn)評：本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，著重考查兩角和與差的余弦，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(
2
sinx
，
-1
sinx
)，
b
=(1，cos2x)且x∈(0，
π
2
]，
（Ⅰ）若
a
與
b
是兩個(gè)共線向量，求x的值；
（Ⅱ）若f(x)=
a
•
b
，求函數(shù)f（x）的最小值及相應(yīng)的x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
-1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）在答卷的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-
π
12
，
11π
12
]的簡圖，并由圖象寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•東城區(qū)一模）已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）畫出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-
7π
12
，
5π
12
]的圖象，由圖象研究并寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(cosx，2cosx)
（1）求f(x)=
a
•
b
，并求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）若
c
=(2，1)，且
a
-
b
與
c
共線，x為第二象限角，求(
a
+
b
)•
c
的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(2sinx，sinx-cosx)，
b
=(cosx，
3
(cosx+sinx))，函數(shù)f(x)=
a
•
b
+1
（1）當(dāng)x∈(
π
4
，
π
2
)時(shí)，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案