Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A、B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm．
（1）設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短．

Answer 1

分析：（1）直接由已知條件求出AO、BO、OP的長(zhǎng)度，即可得到所求函數(shù)關(guān)系式；
（2）直接根據(jù)上面的結(jié)論求出其導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出其最值．

解答：解：（1）由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則OA=

AQ

cos∠BAO

=

10

cosθ

，故OB=

10

cosθ

又OP=10-10tanθ，所以y=OA+OB+OP=

10

cosθ

+

10

cosθ

+10-10tanθ
所求函數(shù)關(guān)系式為y=

20-10sinθ

cosθ

+10

&(0≤θ≤ π 4 )

（2）y′=

-10cosθcosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

10(2sinθ-1)

cos2θ

令y'=0得sinθ=

1

2

∵0≤θ≤

π

4

∴θ=

π

6

當(dāng)θ∈(0，

π

6

)時(shí)y'＜0，y是θ的減函數(shù)；當(dāng)θ∈(

π

6

，

π

4

)時(shí)y'＞0，y是θ的增函數(shù)；
所以當(dāng)θ=

π

6

時(shí)，ymin=

20-10× 1 2

3 2

+10=10

3

+10
此時(shí)點(diǎn)O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊

10 3

3

km處．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號(hào)，用數(shù)學(xué)知識(shí)解題．