Question

已知a，b，c是直角三角形的三邊，其中c為斜邊，若實數(shù)M使不等式

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

M

a+b+c

恒成立，則實數(shù)M的最大值是（　　）

• A．6+2

  3

• B．5+ 3

  2

• C．6+2

  2

• D．9

Answer 1

分析：由于a，b，c是直角三角形的三邊，其中c為斜邊，可設

a

c

=sinα，則

b

c

=cosα，從而將(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)轉(zhuǎn)化為用三角函數(shù)指數(shù)進行解決．

解答：解：設

a

c

=sinα，則

b

c

=cosα
則(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=3+

1+(sinα+cosα)(1+sinαcosα)

sinαcosα

設t=sinα+cosα，則1＜t≤

2

，sinαcosα=

t2-1

2

代入得(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=4+(t-1) +

2

t-1

而f（x）=x+

2

x

，在0＜x≤

2

時單調(diào)遞減，
所以(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)=4+(t-1) +

2

t-1

≥5+3

2

所以M最大值為5+3

2

故選B

點評：本題以直角三角形為載體，考查基本不等式的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了恒成立問題的處理．