Question

（2013•溫州二模）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5．E，F(xiàn)分別在AD，BC上．且AE=1，BF=3，沿EF將四邊形AEFB折成四邊形A′EFB′，使點B′在平面CDEF 上的射影H在直線DE上．
（I）求證：A′D∥平面B′FC
（II）求二面角A′-DE-F的大小

．

Answer 1

分析：（I）利用線面平行的判定定理可得A^′E∥平面B^′FC，DE∥平面B^′FC，又A^′E∩DE=E．由面面平行的判定定理可得平面A^′ED∥平面B^′FC，再利用面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行；
（II）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用B^′在平面CDEF上的射影H在直線DE上，設B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）及F（2，2，0），B′E=

5

，B^′F=3，可得到點B^′的坐標，分別求出平面A^′DE的法向量、平面CDEF的法向量，利用法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（I）證明：∵A^′E∥B^′F，A^′E?平面B^′FC，B^′F?平面B^′FC．
∴A^′E∥平面B^′FC，
由DE∥FC，同理可得DE∥平面B^′FC，
又∵A^′E∩DE=E．
∴平面A^′ED∥平面B^′FC，
∴A^′D∥平面B^′FC．
（II）解：如圖，過E作ER∥DC，過E作ES⊥平面EFCD，
分別以ER，ED，ES為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
∵B^′在平面CDEF上的射影H在直線DE上，設B^′（0，y，z）（y，z∈R⁺）．
∵F（2，2，0），B′E=

5

，B^′F=3．
∴

y2+z2=5 4+(y-2)2+z2=9

解得

y=1 z=2

．
∴B^′（0，1，2）．
∴

FB′

=(-2，-1，2)．
∴

EA′

=

1

3

FB′

=(-

2

3

，-

1

3

，

2

3

)．
設平面A^′DE的法向量為

n

=(x0，y0，z0)，又有

ED

=(0，4，0)．
∴

n • EA′ =0 n • ED =0

得

- 2 3 x- 1 3 y+ 2 3 z=0 4y=0

，令x=1，則z=1，y═0，得到

n

=(1，0，1)．
又∵平面CDEF的法向量為

m

=(0，0，1)．
設二面角A^′-DE-F的大小為θ，顯然θ為鈍角
∴cosθ=-|cos＜

n

，

m

＞|=-

2

2

．
∴θ=135°．

點評：熟練掌握線面平行的判定定理、面面平行的判定和性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標系利用兩個平面的法向量的夾角求二面角是解題的關鍵．