如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB，M是PB的中點(diǎn)
（Ⅰ）求直線AC與直線PB所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求直線AB與面ACM所成角的正弦值．
考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°”可知，此題建立空間直角坐標(biāo)系相當(dāng)方便．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD長為單位長度，分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算各題．
（1）利用向量的數(shù)量積可知：cos＜
AC
，
PB
＞=
2
2
•
5
=
10
5
．可求出AC與PB所成的角余弦值．
（2）求出
AM
=（0，1，
1
2
），
AC
=（1，1，0），
AB
=（0，2，0），面ACM的法向量為
n
，運(yùn)用|cos＜
n
，
AB
＞|=直線AB與面ACM所成角的正弦值求解即可．
解答： 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
1
2
）．
（1）因
AC
=（1，1，0），
PB
=（0，2，-1）
|
AC
|=
2
，|
PB
=
5
，|
所以cos＜
AC
，
PB
＞=
2
2
•
5
=
10
5
．
所以，AC與PB所成的角余弦值為
10
5
．
（2）∵M(jìn)（0，1，
1
2
），
AM
=（0，1，
1
2
），
AC
=（1，1，0），
AB
=（0，2，0），
∴面ACM的法向量為
n
=（x，y，z），
n
•
AM
=0
n
•
AC
=0
，
x+y=0
y+
z
2
=0
，
n
=（1，-1，2），
∴cos＜
n
，
AB
＞=
-2
2×
6
=-
6
6
，
∴直線AB與面ACM所成角的正弦值
6
6
．
點(diǎn)評：本小題考查空間中的異面直線所成的角、二面角、解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，且2Sn=a
 
2
n
+an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)bn=an•2 an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n（n∈N*）項(xiàng)和為Sn，a1=t，a2=-1，點(diǎn)Pn（an，Sn），若點(diǎn)Pn（n=2，3，4，…）都在斜率為
1
3
的同一條直線上．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列？
（2）在滿足（1）的條件下，設(shè)bn=λan-n2，若數(shù)列{bn}中，有b1＞b2，b3＞b4，…，b2n-1＞b2n，…成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=
1
2
CD=2，點(diǎn)M在線段EC上且不與E，C重合．
（1）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；
（2）當(dāng)EM=2MC時(shí)，求平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且
PA
+2
PB
+3
PC
=3
AC
，
（1）求證：點(diǎn)P在直線AB上；
（2）求△PAC與△PBC的面積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

解下列不等式：
（1）x2-5x-6＞0；
（2）1+2x-x2≥0；
（3）|2x-1|＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等差數(shù)列{an}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6-4，其前n項(xiàng)和為Sn．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足bn=an•2n-1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
（理）（Ⅲ）若數(shù)列{cn}滿足cn=
1
Sn+1-1
，且{cn}前n項(xiàng)和為Ln，求證：Ln＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
cosπx，x≤0
f(x-1)+1，x＞0
，則f（
4
3
）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在圓C：x2+y2=10內(nèi)隨機(jī)撒一粒豆子，則豆子落在陰影部分的概率是（　　）
A、1-
2
5π
B、
2
5
C、
4
5π
D、
2
5π

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同步練習(xí)冊答案