Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}，（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₃=9．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．由a₁=3，a₃=9可得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，可求d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求log₂（a_n-1），進(jìn)而可求a_n
（2）由（1）可得a_n=2ⁿ+1．利用分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求S_n

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．
由a₁=3，a₃=9得，2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，解得d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=2ⁿ+1．
（2）∵a_n=2ⁿ+1．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2+1）+（2²+1）+…+（2ⁿ+1）
=（2+2²+…+2ⁿ）+n=

2(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺¹+n-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，數(shù)列求和的分組求和方法的應(yīng)用及等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題