Question

設(shè)點(diǎn)P是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上異于頂點(diǎn)的任意點(diǎn)，作△PF₁F₂的左、右旁切圓，與x軸的切點(diǎn)為D，則點(diǎn)D（　　）

• A、在橢圓內(nèi)
• B、在橢圓外
• C、在橢圓上
• D、以上都有可能

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先作出一個(gè)旁切圓（如左切圓），設(shè)圓與x軸（即線段F₂F₁的延長(zhǎng)線）相切于點(diǎn)C，與線段F₂P的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)D，與線段PF₁相切于點(diǎn)E，根據(jù)圖形的幾何特征，并利用橢圓定義，及圓的切線性質(zhì)，得CF₂=a+c，從而可確定C點(diǎn)的位置，同理可得其它兩個(gè)旁切圓與x軸相切時(shí)切點(diǎn)的位置．

解答： 解：如圖1所示，△PF₁F₂的一個(gè)旁切圓與x軸（即線段F₂F₁的延長(zhǎng)線）相切于點(diǎn)C，
與線段F₂P的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)D，與線段PF₁相切于點(diǎn)E．
由橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，
由圓的切線性質(zhì)，得|F₂D|=|F₂C|，|PD|=|PE|，|CF₁|=|EF₁|，
于是|F₂C|=|F₂D|=|F₂P|+|PD|=2a-|F₁P|+|PD|=2a-（|F₁P|-|PD|）
=2a-（|F₁P|-|PE|）=2a-|EF₁|=2a-CF₁=a+（a+|CF₁|）=a+c．
故切點(diǎn)C為橢圓的左頂點(diǎn)．
同理，旁切圓與x軸相切時(shí)切點(diǎn)的位置為橢圓的右頂點(diǎn)，如圖2所示．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義及圓的切線的性質(zhì)，關(guān)鍵是將各線段的長(zhǎng)度進(jìn)行轉(zhuǎn)化．求解時(shí)應(yīng)注意以下常見(jiàn)結(jié)論：
（1）若P為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF₁|+|PF₂|=2a；
（2）從圓外一點(diǎn)M向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，則|MA|=|MB|；
（3）橢圓焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的距離等于a-c，焦點(diǎn)到另一焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的距離等于a+c．