Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，如果${a_1}=\frac{6}{7}，{a_n}=\frac{{3{S_n}}}{n+3}（{n∈{N_+}}）$那么a₄₈=350．

Answer 1

分析 ${a_1}=\frac{6}{7}，{a_n}=\frac{{3{S_n}}}{n+3}（{n∈{N_+}}）$，即（n+3）a_n=3S_n，利用遞推關(guān)系可得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$．再利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：∵${a_1}=\frac{6}{7}，{a_n}=\frac{{3{S_n}}}{n+3}（{n∈{N_+}}）$，∴（n+3）a_n=3S_n，
n≥2時(shí)，（n+2）a_n-1=3S_n-1，
相減可得：（n+3）a_n-（n+2）a_n-1=3a_n，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$×$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$×…×$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×a₁=$\frac{n+2}{n}$×$\frac{n+1}{n-1}$×$\frac{n}{n-2}$×…×$\frac{6}{4}$×$\frac{5}{3}$×$\frac{4}{2}$×$\frac{6}{7}$=$\frac{（n+2）（n+1）}{7}$．
那么a₄₈=$\frac{50×49}{7}$=350．
故答案為：350．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、“累乘求積”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．