Question

18．已知直線l：x-y+3=0被圓C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）截得的弦長為$2\sqrt{2}$，求
（1）a的值；
（2）求過點(diǎn)（3，5）并與圓C相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心C（a，2），半徑r=2，圓心到直線l：x-y+3=0的距離，通過勾股定理求解即可．
（2）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過①當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-5=k（x-3），由圓心到切線的距離d=r求解即可；②當(dāng)過（3，5）斜率不存在，判斷直線x=3與圓是否相切，推出結(jié)果．

解答 解：（1）依題意可得圓心C（a，2），半徑r=2，
則圓心到直線l：x-y+3=0的距離$d=\frac{{|{a-2+3}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{|{a+1}|}}{{\sqrt{2}}}$，
由勾股定理可知${d^2}+{（\frac{{2\sqrt{2}}}{2}）^2}={r^2}$，代入化簡得|a+1|=2，
解得a=1或a=-3，又a＞0，
所以a=1；…（5分）
（2）由（1）知圓C：（x-1）²+（y-2）²=4，又（3，5）在圓外，
∴①當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-5=k（x-3），由圓心到切線的距離d=r=2可解得$k=\frac{5}{12}$，
∴切線方程為5x-12y+45=0…（9分），
②當(dāng)過（3，5）斜率不存在，易知直線x=3與圓相切，
綜合①②可知切線方程為5x-12y+45=0或x=3…（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．