Question

設(shè)雙曲線以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率為

±

1

2

．

Answer 1

分析：由橢圓的基本概念，算出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5，0）且準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

=4，由此解出雙曲線的實(shí)半軸與虛半軸，進(jìn)而可得雙曲線的漸近線的斜率．

解答：解：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
橢圓

x2

25

+

y2

9

=1長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為（±5，0），
∴雙曲線中，半焦距c=

a2+b2

=5，
又∵橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)（±4，0）在雙曲線的準(zhǔn)線上，
∴

a2

c

=4，可得a²=20，b²=c²-a²=5，
由此算出a=2

5

且b=

5

，得雙曲線的漸近線的斜率k=±

b

a

=±

1

2

故答案為：±

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且焦距等于雙曲線的實(shí)軸，求雙曲線的漸近線．著重考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、基本概念與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．