定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)，且當x≠0時，f(x)≠0．

(1)求證：f(0)＝0

(2)證明：f(x)是偶函數(shù)．并求f(x)的表達式

(3)若f(x)＝alnx有兩個不同實數(shù)解，求a的取值范圍．

答案：
解析：

　　解：(1)由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，令x＝y(tǒng)＝0時，f(0)＝f(0)＋f(0)＋0，得f(0)＝0(2分)

　　(2)由f(xy)＝f(x)f(y)，令x＝2，y＝1，得f(2)＝f(2)f(1)，∵x≠0時，f(x)≠0，∴f(1)＝1．(3分)

　　由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，令x＝1，y＝－1，得f(0)＝f(1)＋f(－1)－2，由(1)及f(1)＝1得：f(－1)＝f(1)＝1；－(4分)

　　又由f(xy)＝f(x)f(y)，令y＝－1得f(－x)＝f(x)f(－1)＝f(x)(5分)

　　即f(x)是R上的偶函數(shù)(6分)

　　又由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy，令x＝－y，得f(0)＝f(x)＋f(－x)－2x2，(7分)

　　∴f(x)＝x2．　8分

　　(3)令h(x)＝x2－alnx，依題意函數(shù)h(x)有兩個不同的零點，(9分)

　　因為h(x)的定義域為(0，＋∞)，且，(10分)

　　(1)若a≤0，，h(x)是增函數(shù)，不合，舍去．

　　(2)若a＞0，由解得或(舍去)，即當時h(x)為單調遞減的函數(shù)，當時h(x)為單調遞增的函數(shù)，(11分)

　　∴h(x)的最小值為，(12分)

　　又∵當a＞0，x＜1時h(x)＞0，令g(x)＝x－lnx，由，可知，當x＞1時，g(x)是增函數(shù)，因g(1)＝1＞0，故當x＞1時x＞lnx，即當x＞1，a＞0時h(x)＝x2－alnx＞x2－ax，故當x＞a時，h(x)＞0，故當時h(x)有兩個零點，解得a＞2e，所以a＞2e為所求．(14分)


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈[0，
π
2
]時，f（x）=sinx，則f（
5π
3
）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

20、已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，當x∈（0，4）時，f（x）=x2-1，則f（2010）=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點之間距離為π，函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）圖象所有對稱中心都在f（x）圖象的對稱軸上．
（1）求f（x）的表達式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f（x）一定存在零點的區(qū)間是（　　）

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