Question

已知直線l：y=kx-1與圓C：（x-1）²+y²=1相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，b）滿足MP⊥MQ．
（Ⅰ）當(dāng)b=0時，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）當(dāng)b∈(-

1

2

，1)時，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)b=0時，M點(diǎn)即為原點(diǎn)，根據(jù)圓C的方程：（x-1）²+y²=1，原點(diǎn)（M點(diǎn)）落在圓上，若MP⊥MQ，則PQ為圓C：（x-1）²+y²=1直徑，將圓心坐標(biāo)代入直線方程，即可求出實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）根據(jù)P、Q兩點(diǎn)在直線l：y=kx-1上，設(shè)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，kx₁-1），（x₂，kx₂-1），聯(lián)立方程后可以將方程看作是關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可將MP⊥MQ轉(zhuǎn)化為一個k與b的關(guān)系式，根據(jù)b∈（-

1

2

，1）時，即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)b=0時，點(diǎn)M（0，0）在圓C：（x-1）²+y²=1上，
若足MP⊥MQ，則PQ為圓C：（x-1）²+y²=1直徑，
即直線l：y=kx-1過圓心（1，0），
代入解得k=1．
（Ⅱ）設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，kx₁-1），（x₂，kx₂-1）
則由圓C：（x-1）²+y²=1及直線l：y=kx-1
得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0
則x₁•x₂=

1

k2+1

，x₁+x₂=

2(k+1)

k2+1

則

MP

=（x₁，kx₁-1-b），

MQ

=（x₂，kx₂-1-b）
由MP⊥MQ則
x₁•x₂+（kx₁-1-b）•（kx₂-1-b）=0
即

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∵b∈(-

1

2

，1)
∴

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∈[2，

5

2

）
解得k≥1
故實(shí)數(shù)k的取值范圍[1，+∞）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓的綜合應(yīng)用，（Ⅱ）中應(yīng)用的方法--“聯(lián)立方程”+“設(shè)而不求”+“韋達(dá)定理”是解答直線與圓錐曲線（包括圓）的綜合問題的常用方法，是解答高考壓軸題的關(guān)鍵．