Question

已知函數f（x）=x²+2（a-1）x+2．
（1）當a=2時，寫出f（x）的單調區(qū)間；
（2）若該函數的單調遞減區(qū)間為（-∞，4]，求實數a的值；
（3）若該函數在（-∞，4]上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=2時，求出函數圖象的開口方向和對稱軸，進而可得函數的單調區(qū)間．
（2）求出函數圖象的對稱軸，利用函數的單調遞減區(qū)間為（-∞，4]，確定對稱軸和區(qū)間之間的關系，進而求出a值；
（3）求出函數圖象的對稱軸，利用函數在（-∞，4]上單調遞減，確定對稱軸和區(qū)間之間的關系，進而求出a值；

解答： 解：（1）當a=2時，函數f（x）=x²+2（a-1）x+2=x²+2x+2，
其圖象是開口朝上且以直線x=-1為對稱軸的拋物線；
故函數f（x）在（-∞，-1]上單調遞減，在[-1，+∞）上單調遞增．
（2）函數f（x）=x²+2（a-1）x+2的圖象是開口朝上且以直線x=1-a為對稱軸的拋物線；
故函數f（x）在（-∞，1-a]上單調遞減，
又由函數f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，4]，
則1-a=4，
解得a=-3；
（3）由（2）得函數f（x）在（-∞，1-a]上單調遞減，
又由函數f（x）在（-∞，4]上單調遞減，
∴（-∞，4]⊆（-∞，1-a]，
∴1-a≥4，
解得a≤-3．
故實數a的取值范圍為（-∞，-3]．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，利用二次函數對稱軸和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．