Question

設(shè)數(shù)列｛a_n｝滿足a_n＋1=a_n²－na_n＋1，n=1，2，3，…，

（Ⅰ）當(dāng)a₁=2時(shí)，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）當(dāng)a₁≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1，有

（ⅰ）a_n≥n＋2；

（ⅱ）．

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）解：由a1=2，得a2=a12－a1＋1=3， 由a2=3，得a3=a22－2a2＋1=4， 由a3=4，得a4=a32－3a3＋1=5． 由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式：an=n＋1（n≥1）． （Ⅱ）證明：（�。┯脭�(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=1，a1≥3=1＋2，不等式成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即ak≥k＋2，那么， ak＋1=ak（ak－k）＋1≥（k＋2）（k＋2－k）＋1≥k＋3， 也就是說(shuō)，當(dāng)n=k＋1時(shí)ak＋1≥（k＋1）＋2． 根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有an≥n＋2． （ⅱ）由an＋1=an（an－n）＋1及（ⅰ），對(duì)k≥2，有 ai=ak－1（ak－1－k＋1）＋1≥ak－1（k－1＋2－k＋1）＋1=2ak－1＋1， …… ∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1=2k－1（a1＋1）－1． 于是，k≥2．